Ασυσχετισία (Θεωρία πιθανοτήτων)

Στην θεωρία πιθανοτήτων, δύο τυχαίες μεταβλητές $X$ και $Y$ λέγονται ασυσχέτιστες ανν η συνδυακύμανσή τους είναι μηδέν, δηλαδή

$\operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} [XY]-\operatorname {E} [X]\cdot \operatorname {E} [Y]=0.$

Δύο ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές είναι ασυσχέτιστες, αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει.

Ιδιότητες

• Δύο τυχαίες μεταβλητές $X$ και $Y$ είναι ασυσχέτιστες ανν

$\operatorname {E} [XY]=\operatorname {E} [X]\cdot \operatorname {E} [Y].$

• Από την προηγούμενη ιδιότητα προκύπτει ότι δύο ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές $X$ και $Y$ είναι ασυσχέτιστες.
• Από την ταυτότητα Bienaymé, έχουμε ότι για (ανά δύο) ασυσχέτιστες τυχαίες μεταβλητές $X_{1},\ldots ,X_{n}$, έχουμε ότι η διακύμανση του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων:

$\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} (X_{i}).$

Παράδειγμα

Από τις ιδιότητες παραπάνω έχουμε ότι κάθε ζεύγος ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ασυσχέτιστες. Τώρα θα ορίσουμε δύο τυχαίες μεταβλητές $X$ και $Y$ οι οποίες είναι ασυσχέτιστες, αλλά όχι ανεξάρτητες. Αυτές οι μεταβλητές έχουν τις εξής πιθανότητες:

$X$ \ $Y$	$Y=-1$	$Y=0$	$Y=+1$
$X=0$	$0$	${\frac {1}{2}}$	$0$
$X=1$	${\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{4}}$

Παρατηρήστε ότι δεν είναι ανεξάρτητες, καθώς αν γνωρίζουμε ότι $Y=-1$, τότε ξέρουμε επίσης ότι $X=0$.

Από το παραπάνω προκύπτει ότι

$\operatorname {E} [XY]=\operatorname {P} (X=0,Y=-1)\cdot (-1)+\operatorname {P} (X=1,Y=+1)\cdot (+1)={\frac {1}{4}}\cdot (-1)+{\frac {1}{4}}\cdot (+1)=0,$

και ότι

$\operatorname {E} [Y]={\frac {1}{4}}\cdot (-1)+{\frac {1}{4}}\cdot (+1)=0$ και $\operatorname {E} [X]\cdot \operatorname {E} [Y]=0$.

Επομένως, οι τυχαίες μεταβλητές είναι ασυσχέτιστες

$\operatorname {Cov} (X,Y)=0.$

Δείτε επίσης

• Ανεξαρτησία
• Συνδιακύμανση